6-01　バタワース型HPF（2次）を設計しよう（続き） ●あらかじめプリワーピングでカットオフ周波数をずらした理由 　アナログの周波数特性は図6‐17のように無限の周波数まで続くのに対し、デジタルの周波数特性はナイキスト周波数で終わります。したがって双一次S-Z変換（後に説明）を行うと高域のアナログ周波数特性をぐっと圧縮する格好になり、それに伴いカットオフ周波数には「ずれ」が生じます。これを相殺するために、式A-02のようなプリワーピングを行い、あらかじめカットオフ周波数をずらしておくわけです。 　　図6‐17　双一次S-Z変換による周波数特性のひずみ ■双一次S-Z変換 　アナログフィルタのデジタル化には「双一次S-Z変換」を使用します。それを代表的な1次式、2次式に施して整理したものを表A-3 に示します。 ★参考文献 ●具体的に双一次S-Z変換してみる 　式5‐02のアナログHPFに表A-3を適用します。EXCELを開き、まずはα、β、G（表A-3の枠外下）を計算します。G1, G2, G3セルをそれぞれ、 =2*44100 =E3*G1^2 =1/(G1^2+E1*G1+E2) 　として計算し、右のセルにそれぞれα、β、Gと書き込みます（図6‐18）。 　　図6-18　α、β、Gの計算 　次に表A-3の右下枠の部分を計算します。I1〜I5セルをそれぞれ、 =G2+0*G1+0 =2*(0-G2) =G2-0*G1+0 =2*G3*(E2-G1^2) =G3*(G1^2-E1*G1+E2) 　として計算し、右のセルにそれぞれ p_a0, p_a1, p_a2, p_b1, p_b2 と書いておきます（図6‐19）。 　　図6-19　Biquad係数の計算 　上図の結果を表A-3の右下枠に適用すると式5‐03のような2次IIR（Biquad）の伝達関数になります。 式5‐03　S-Z変換の結果 　式5‐03を整理するためにK1〜K5セルをそれぞれ、 =G3*I1 =G3*I2 =G3*I3 =I4 =I5 　とします（分子の係数×G3、分母はそのまま）。右のセルにそれぞれa0, a1, a2, b1, b2と書き込みましょう（図6‐20）。 　　図6-20　Biquadの係数を整理する 　するとBiquadの伝達関数は式5‐04のようになります。 式5‐04　2次IIRフィルタの伝達関数 ●カットオフ周波数などの確認 　Biquadの周波数特性を見てみましょう。このサイトからEXCELをダウンロードして開き、f-responseシートを開きます。D列に上式の係数をペーストします（これ）。 　　図6‐22　Biquadの周波数特性を計算するEXCEL 　f-responseシートの右端に周波数特性があります。4000Hzで-3dBになっており、正しくS-Z変換されていることが分かります（＊１）。 （＊１）アナログフィルタではカットオフをあえて4000Hz→4111Hzとずらした。S-Z変換によってそのずれが相殺される。 　　図6‐23　4000Hzで-3dBになっている。F特計算開始周波数（READMEシートのB6セル）など適当に変更 　以上でバタワース型IIRフィルタ（2次）の設計は終了です。 �@アナログ基準LPF �Aプリワーピング �B周波数変換 �C双一次S-Z変換 　このような順序で進めます。LPF/HPF/BPR/BRFにかかわらず、�@はアナログ基準"LPF"であることに注意しましょう。 ★参考文献 以下の文献から引用。 「ディジタル・フィルタ設計入門」、尾知博、CQ出版社、1990年 「実践ディジタル・フィルタ設計入門」、岩田利王、CQ出版社、2004年 最初のページへ 目次へ戻る